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      2020大學生村官行測備考:均值不等式解決行測極值問題

      2020-06-11 09:33:31 來源:中公教育 白亮
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      所謂的均值不等式,大家可以直接掌握一句話:和定,差小,積大;積定,差小,和小。指的是當兩個數和一定時,這兩個數差越小,乘積就越大;而當兩個數乘積一定時,這兩個數差越小,和就越小。那均值不等式具體在做題中如何運用呢?

      我們先來看下面的例題:

      例1.直角三角形兩直角邊和為12,則該直角三角形面積最大為?

      A.10 B.18

      C.20 D.36

      【答案】B。中公解析:題目所求為三角形面積最大,而我們知道對于直角三角形而言,面積應該等于直角邊乘積的一半,所以要求直角邊乘積最大。設兩直角邊為a和b,題目中說兩直角邊和為12,即a+b=12,和一定,F求ab的最大值,即乘積最大值,此時想到和定差小,積大。所以當a與b差最小時,乘積最大。而a與b差要想最小,則a=b,此時兩直角邊均為6。則三角形面積為6×6÷2=18。

      接下來再來看下面的例題:

      例2.某市有一長方形廣場,面積為2500平方米,則該廣場周長至少為()米?

      A.160 B.200

      C.250 D.320

      【答案】B。中公解析:題目所求為周長至少為多少,即周長最小值,而長方形周長為長加寬的2倍,設長和寬分別為a和b,則周長為2(a+b)。要想周長最少,則a+b要最小,即求的是和的最小值,而題目中說面積為2500,即ab=2500,乘積一定。所以根據均值不等式積定,差小,和小?芍敳钭钚r,即a=b=50時,a+b的和為最小,此時周長為2(a+b)=2(50+50)=200。

      上面兩道題目都是直接利用均值不等式進行求解,而在我們實際做題中,經常還會遇到一些題目利用均值不等式時要先做一些轉換。比如我們看下面的例題。

      例2.某苗木公司準備出售一批苗木,如果每株以4元出售,則可賣出20萬株,若苗木單價每提高0.4元,就會少賣1萬株,問在最佳定價下,該公司最大收入為()萬元

      A.60 B.80

      C.90 D.100

      【答案】C。中公解析:要求公司最大收入,而我們知道總收入=每株收入×數量,設單價提高x個0.4元,此時少賣x個1萬株,則總收入=(4+0.4x)(20-x),所以求的是乘積的最大值,此時想到均值不等式,和定差小,積大。但題目中兩個式子此時和不是定值,首先構造和一定,則需要消掉未知數x,所以給第二個式子乘以0.4,可得總收入為

      ,求分子最大值,二分子兩個式子和為12,和一定,則差越小,乘積越大。所以差最小時即兩個式子相等,即4+0.4x=8-0.4x,解得x=5,此時總收入為6×15=90萬元。

      中公教育希望通過上面的三道題目大家能夠對均值不等式解決極值問題的題目有更多了解。

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